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空间曲线积分的两种方法  

2010-05-05 11:58:06|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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clip_image002[4],L为圆周clip_image004[4],x+y+z=0,x轴正向看去,圆周是取逆时针方向。

解:

法1:斯托克斯公式

clip_image006[5]

注:(1)由于ds可直接积出,所以就不用再向坐标面投影了,而如果题目出得比较复杂ds不好积或者被积函数不为常数时,则需要向坐标面投影,向哪个需投都可以,以向XY面投影为例:只需将式中的ds换作clip_image008[6]并且将clip_image010[4]换作clip_image012[5](即要将clip_image010[5]向XY面投影)。

(要清楚以下关系:clip_image014[4],即:投影元=面元*方向余弦)

(2)关于本例中如何确定n是取clip_image016[4]还是取clip_image018[4]:由于已k知中说“x轴正向看去,圆周是取逆时针方向”,所以由右手螺旋法则知圆片的正向法向量在X轴上的投影为正,所以取x坐标为正者,即取clip_image016[5]

下面是一个直接计算的方法,虽然计算繁琐,但能体现洞察力,所以如果两个人同样都算出正确答案,用法1者无过,用法2者有功。

法2:直接代换

由曲线L的方程可以解出:z=-x-y,代入到积分中去,得:

clip_image020[4]

其中Lxy为L在XY平面上的投影,即clip_image022[4]

作变换clip_image024[4]得:

clip_image026[5]

其中clip_image028

这时积分曲线成为一个椭圆,于是作三角代换:

clip_image030

clip_image032

于是:

clip_image034

注:

(1)由于Lxy是逆时针的,即Lxy是正向曲线,所以结果不用再取相反数。

(2)法2说明积分曲线可以代入到积分中去化简。

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