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东南隅

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关于r(A)与r(A*)关系的两个等价结论  

2010-05-06 00:33:03|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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定理:设A*是n(n>=2),则

clip_image002[4]

推论:如果A~B,则r(A*)~r(B*)。

证:因为A~B,所以r(A)=r(B),然后再结合定理,显然推论正确。

推论说明:对矩阵A进行初等变换之后再取*,则*的秩不受影响。

值得注意的是这个推论同样是一个很强的结论,实际上,它跟定理一样强,即下面我们将证明由这个推论可以反推出定理:

(1),如果r(A)=n,则A~E。由于E*=E,所以据推论有r(A*)=r(E*)=r(E)=n

(2),如果r(A)=n-1,则A~clip_image004[4],所以据推论有r(A*)=r(clip_image006[6]),下面看clip_image006[7]得什么:如果aij在E区或O1区,则Aij包含全0行,所以值为0;如果aij落在O2区,则Aij包含全0列,所以值为0;只有当aij落在0时,clip_image008[4],所以clip_image010[4],即秩为1。

(3),如果r(A)<n-1,则A~clip_image012[6](O3阶数>1),所以据推论有r(A*)=r(clip_image012[7]*),再看clip_image014[4]得什么:显然无论aij落在E,O1,O2,O3哪个区,Aij都将包含全0行,所以值为0。所以clip_image016[4],即秩为0。

综上,由推论反推出了定理。所以说二者的效力是等价的。因此在实际应用中随方便任意选用即可,you can’t miss anything。

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