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线性方程组同解与矩阵行等价的关系  

2010-05-07 01:17:01|  分类: 课内数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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命题1:Ax=O与Bx=O同解<=>A行等价于B。

命题2:(A1,b1)行等价于(A2,b2)=>A1x=b1与A2x=b2同解。

命题3:A1x=b1有解,且A1x=b1与A2x=b2同解=>(A1,b1)行等价于(A2,b2)。

注:命题3要强调”A1x=b1有解”这个条件,而命题1则不必,因为齐次方程组必定是有解的(至少有零解)。

-------------------------------------------------------------------------------------

下面逐个证明:

引理:

(1),A列等价于B<=>r(A)=r(B)=r(A,B)。

(2),A行等价于B<=>clip_image002[8]

命题1:Ax=O与Bx=O同解<=>A行等价于B。

证明:

先证<=:

因为A行等价于B,说明A可以初等行变换到B,而初等行变换是同解变换,所以Ax=O与Bx=O同解。

再证=>:

由引理知,要证A行等价于B只须证clip_image002[9]

因为Ax=O与Bx=O同解,设SA、SB分别为两者的解空间,则SA=SB(=S)。所以dim(SA)=dim(SB),而r(A)=n-dim(SA),r(B)=n-dim(SB),所以r(A)=r(B)。再证clip_image004[6]

首先clip_image006[4]>=r(A)(1)。又对于S中任一解clip_image008[6]

因为

clip_image010[4]

所以clip_image012[4],即也是clip_image014[4]的解,所以clip_image016[4]

所以clip_image018[4](2)

由(1)(2)得clip_image004[7]

所以clip_image002[10],证毕。

命题2:(A1,b1)行等价于(A2,b2)=>A1x=b1与A2x=b2同解。

证明:

(A1,b1)行等价于(A2,b2),即存在初等行变换矩阵P使P(A1,b1)=(A2,b2),所以

PA1=A2

Pb1=b2

clip_image020[6]是A1x=b1的解,即clip_image022[4],则两边左乘P得clip_image024[4],即clip_image026[4],所以clip_image020[7]也是A2x=b2的解。

clip_image029[6]是A2x=b2的解,即clip_image031[4],因为P是初等行变换矩阵,所以clip_image033[6]存在,用clip_image033[7]左乘两边得clip_image035[4],即clip_image037[4],所以clip_image029[7]也是A1x=b1的解。

综上,A1x=b1与A2x=b2同解。

命题3:A1x=b1有解,且A1x=b1与A2x=b2同解=>(A1,b1)行等价于(A2,b2)。

证明:

因为A1x=b1与A2x=b2同解,所以对应的齐次方程必同解,即A1x=O与A2x=O同解,所以由命题1知A1行等价于A2,即存在初等行变换矩阵P使PA1=A2成立。

下面证明Pb1=b2:

因为A1x=b1有解,且A1x=b1与A2x=b2同解,所以存在clip_image008[7]满足:

clip_image041[4]

对(1)两边左乘P得clip_image043[4],即clip_image045[4](3)。

由(2)(3)得Pb1=b2。

因为PA1=A2,Pb1=b2,所以P(A1,b1)=(A2,b2),即(A1,b1)行等价于(A2,b2),证毕。

clip_image047[4]

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